Grootste paradoxen van de wetenschap: Tegenstrijdigheden maken ons slimmer

Leugens maken computers menselijker

Bedacht: 400 v.Chr.

‘Deze zin is onjuist’ is een versie van de zogeheten leugenaarsparadox, waarbij uitspraken een onverbrekelijke keten van cirkelverwijzingen vormen, want als de zin onjuist is, is hij juist, maar als hij juist is, is hij onjuist.

De paradox is afkomstig van de Griek Eubulides, die vroeg: ‘Een man zegt dat hij liegt – spreekt hij dan de waarheid of liegt hij?’ De keten van tegenstellingen kan ook meerdere beweringen omvatten, zoals: ‘De volgende zin is waar. De vorige zin is onwaar.’

Daardoor zijn sommige logici afgestapt van de bivalente logica, die stelt dat proposities waar óf onwaar zijn. En dan zijn alle waarden toegestaan. Een zin kan bijvoorbeeld gedeeltelijk waar zijn, of twee beelden kunnen deels samenvallen. Die aanpak wordt bijvoorbeeld gebruikt bij gezichtsherkenning.

De bekendste niet-bivalente logica is de fuzzy logic. Die wordt gebruikt bij de programmering van neurale netwerken en kunstmatige intelligentie, omdat hij besluitvormingsprocessen simuleert die vergelijkbaar zijn met de menselijke intuïtie.

Onmogelijke driehoek fopt je hersenen

Bedacht: 1934

‘Onmogelijkheid in zijn zuiverste vorm,’ zo noemde de Britse wiskundige Roger Penrose de figuur. De onmogelijke driehoek werd voor het eerst getekend door de Zweedse kunstenaar Oscar Reutersvärd in 1934, en populair gemaakt door Penrose en Escher. Het is gezichtsbedrog: de figuur lijkt een ruimtelijke, driedimensionale driehoek in twee dimensies getekend, maar kan niet bestaan in de drie dimensies van de werkelijkheid.

Op het eerste gezicht is er niets mis mee, maar je kunt met je ogen de vlakken niet rondom volgen; zo kan de onderste balk zowel voor als achter de top van de driehoek lijken te liggen.

Bewustzijnsonderzoekers hebben onderzocht hoe het kan dat de hersenen de onmogelijke driehoek als driedimensionaal blijven zien, zelfs nadat de illusie is doorgeprikt. Hun experimenten ondersteunen de psychologische theorie dat ons cognitieve systeem bestaat uit deels onafhankelijke modules. Dus de visuele module blijft de driehoek als een object zien, zelfs nadat ons bewustzijn het bedrog heeft ontdekt.

Hardloper haalt de schildpad nooit in

Bedacht: 400 v.Chr.

De legendarische held Achilles doet mee aan een race met een schildpad. Achilles is zeker van zijn overwinning en geeft de schildpad een grote voorsprong, zeg 100 meter.

Terwijl Achilles de 100 meter haalt, heeft de schildpad bijvoorbeeld nog eens 10 meter afgelegd. Terwijl Achilles die 10 meter rent, loopt de schildpad nog 1 meter. Terwijl Achilles die ene meter aflegt, loopt de schildpad 10 centimeter verder, enzovoort.

Het gevolg van dit gedachte-experiment van Zeno is dat Achilles de schildpad nooit inhaalt, hij komt alleen maar dichterbij. Ons gezond verstand zegt echter dat er iets mis is met de berekening, en de moderne wiskunde geeft ons gelijk.

Wiskundigen hebben de paradox opgelost met het concept van de limietwaarde. In Zeno’s wereld kan de helft van de weg min een kwart min een achtste, enzovoort, nooit 0 zijn. Maar wij weten dat 0,0...1 – waarbij de punten een oneindig aantal nullen voorstellen – precies hetzelfde is als 0, omdat we nooit bij de 1 komen.

Oneindigheid is verkrijgbaar in verschillende maten

Bedacht: 1873

In het dagelijks leven geldt het gezegde dat het geheel altijd groter is dan de delen, maar in de wiskunde is dat heel anders. De paradox wordt duidelijk als je naar de cijfers kijkt.

Getallen die een afstand op een lijn kunnen voorstellen worden reële getallen genoemd. Je kunt ze schrijven als decimalen met oneindig veel significante cijfers. Reële getallen zijn 2, 78,4297 en pi (3,14...): de verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel.

Wiskundig kan bewezen worden dat er alleen al tussen 0 en 1 ontelbaar veel reële getallen zijn. Dus meer dan er geteld kunnen worden met de natuurlijke getallen (alle positieve gehele getallen, zoals 1, 2, 27 en 158), die zelf ook een oneindige hoeveelheid vormen. De oneindige verzameling van natuurlijke getallen is een deelverzameling van de eveneens oneindige verzameling van reële getallen.

Er zijn dus verschillende soorten oneindigheid, en sommige oneindigheden zijn groter dan andere. De Duitse wiskundige Georg Cantor bewees dit met het tweede diagonaliseringsprincipe van Cantor toen hij in de jaren 1880 de grondslagen legde van de moderne verzamelingenleer.

Cantors begrip van verschillende soorten oneindigheden is gebaseerd op het werk van de Italiaanse wis- en natuurkundige Galileo Galilei. Al is de verzameling van kwadratische getallen (1, 4, 9, 16, enz.) een deelverzameling van de natuurlijke getallen, de twee verzamelingen moeten toch gelijk zijn, zei Galilei. Want elk natuurlijk getal kan gekoppeld worden aan zijn kwadraat, dus 1 aan 1, 2 aan 4, 3 aan 9, enz.

Het heelal illustreert dat er ook in de fysieke wereld verschillende soorten oneindigheid bestaan. Waarnemingen duiden er zelfs op dat het oneindig is en toch voortdurend uitdijt.

Theseus’ schip in tweeën gesplitst

Bedacht: 500 v.Chr.

In de Griekse mythologie zeilt de legendarische koning en held Theseus van Kreta naar huis in een schip, dat vervolgens eeuwenlang in de haven van Athene ligt. Het schip is blootgesteld aan het weer en de tand des tijds, zodat geleidelijk elke plank wordt vervangen tot er uiteindelijk niets meer over is van het oorspronkelijke schip. Maar is het nog steeds hetzelfde schip? Of is het een nieuw schip? En zo ja, wanneer vond de verandering plaats?

Heraclitus, Plato, Plutarchus en andere denkers bogen zich over het verhaal, dat een fundamenteel en onoplosbaar probleem met het begrip identiteit in de tijd weergeeft. De paradox speelt ook een rol in onze kijk op de mens. Bijna geen enkele cel overleeft van geboorte tot dood, dus wat maakt ons eigenlijk tot een individu, het hele leven lang? En wat als op een dag ons bewustzijn kan worden gekopieerd in een computer?

De Britse filosoof Thomas Hobbes maakte de paradox nog ingewikkelder met het verhaal van een zeeman die een schip bouwt van alle afgedankte planken van Theseus’ schip. Welk van de twee schepen is nu Theseus’ schip?

Causale lus heeft geen begin

Bedacht: 1781

Je oudere zelf duikt op met gedetailleerde tekeningen voor een tijdmachine, zodat je die kunt bouwen en later – als je je oudere zelf bent geworden – terug kunt reizen naar je jongere zelf met dezelfde tekeningen.

Het verhaal beschrijft een zogeheten gesloten causale lus zonder beginpunt. De paradox wordt toegeschreven aan Rudolf Erich Raspe, de auteur van de verhalen over Baron von Münchhausen, die zichzelf aan zijn haren omhoogtrok en dus zowel oorzaak als gevolg was.

Causale lussen zijn populair in films en boeken over tijdreizen, maar vormen ook een onderzoeksgebied. In 2020 gaven onderzoekers van de universiteit van Queensland een artikel uit waarin wiskundig wordt aangetoond dat de werkelijkheid zichzelf zal corrigeren, zodat de lus niet tot een paradox leidt.

Zelfs als een oorspronkelijke oorzaak wordt weggenomen – zoals de eerste met COVID-19 besmette patiënt – gaan latere gebeurtenissen richting het daadwerkelijke heden. Dit zou betekenen dat een andere persoon de eerste geïnfecteerde zou worden, en dat het verhaal van daaruit naar het originele verhaal toe zou groeien.