Oneindigheid is een slang die zich in de staart bijt

Al duizenden jaren vechten we met het begrip ‘oneindigheid’. Als een slang kronkelt het door de hele wiskunde, maar telkens als die de kop opsteekt in de natuurkunde, ontstaan er onoplosbare paradoxen. Pas 100 jaar geleden leerde de wiskunde rekenen met oneindige hoeveelheden, maar de vraag blijft: is oneindigheid alleen te vinden in de theoretische wereld van de cijfers, of maakt deze ook deel uit van de werkelijkheid?

Al duizenden jaren vechten we met het begrip ‘oneindigheid’. Als een slang kronkelt het door de hele wiskunde, maar telkens als die de kop opsteekt in de natuurkunde, ontstaan er onoplosbare paradoxen. Pas 100 jaar geleden leerde de wiskunde rekenen met oneindige hoeveelheden, maar de vraag blijft: is oneindigheid alleen te vinden in de theoretische wereld van de cijfers, of maakt deze ook deel uit van de werkelijkheid?

Shutterstock

Een hartaanval werd 100 jaar geleden een van ’s werelds grootste wiskundegenieën fataal. Georg Cantor stierf op 6 januari 1918, alleen in zijn kamer in een psychiatrisch ziekenhuis in de Duitse stad Halle.

In de schaduw van de Eerste Wereldoorlog bracht hij zijn laatste jaren in armoede door, verzwakt door honger en gekweld door de depressie die hem al tientallen jaren achtervolgde.

Of Georg Cantor zichzelf ook beschouwde als een kopstuk, is nog maar de vraag. Hij ging gebukt onder de kritiek en de tegenstand die hij van andere wiskundigen ondervond, waardoor hij vaak aan zichzelf twijfelde.

En voor zijn vakgenoten van toen klonken zijn gedachten als je reinste waanzin.

Zo beweerde hij dat er niet één maar wel twee soorten oneindigheid zijn. Vandaag de dag zijn wiskundigen het er echter over eens dat zijn bijdrage aan de wiskunde van onschatbare waarde is, omdat hij ons een heel nieuw begrip van oneindigheid heeft gegeven.

Om Cantor te snappen moeten we niet eeuwen, maar millennia terug in de tijd, en misschien nog langer.

Wellicht wordt de mens al gefascineerd en geplaagd door de gedachte aan het oneindige sinds onze voorouders naar de hemel begonnen te kijken en zich gingen afvragen hoe ver weg de sterren zijn en wat zich erachter bevindt.

Het idee van de oneindigheid is ronduit duizelingwekkend, en het paradoxale is dat we erdoor worden afgeschrikt terwijl we het toch niet kunnen missen.

Het idee van een oneindig heelal lokt de reactie uit: ‘Maar het moet toch érgens ophouden?’ Omgekeerd worstelen we met het idee van een eindig heelal, want ‘wat is er dan buiten?’

© DEA/A. DAGLI ORTI/Getty

‘De natuur vlucht van het oneindige, want dat is onvolkomen, en de natuur streeft altijd een voleinding na.’

Aristoteles (384-322 v.Chr.) wees het idee van oneindigheid in de werkelijkheid af.

De paradox is er niet minder op geworden met de uitvinding van het basisinstrumentarium van de natuurkunde: de wiskunde. Hierin duiken op allerlei plekken oneindigheden op, maar betekent dit dat ze ook deel uitmaken van de natuurkunde?

Natuurkundigen zullen vinden van niet. Als zij theorieën ontwikkelen om de werkelijkheid te beschrijven en hun vergelijkingen bevatten oneindigheden, nemen ze meestal aan dat er iets helemaal mis is met de theorie.

Toch is wiskunde een onmisbaar instrument gebleken om de natuur te beschrijven, dus waarom zou dit verschil er zijn tussen theorie en realiteit – tussen wiskunde en natuurkunde?

Oneindigheid is kinderspel

Oneindigheid behoort niet alleen tot de ingewikkelde en geavanceerde wiskunde. Een kind leert al vrij jong tellen, en dan is het geen grote sprong naar de vraag wat het grootste getal is dat er is.

Duizend, miljoen, miljard – of misschien biljoen, biljard of triljoen? We leren al snel dat de getallenreeks doorgaat, zelfs ver voorbij de grootste benoemde cijfers – zoals een googol, een 1 gevolgd door honderd nullen, of een googolplex, 10googol.

Maar geen getal is groter dan de oneindigheid. Op school krijgen we daar al snel mee te maken, wanneer we iets leren over breuken en decimalen.

De eenvoudige breuk 1/3 kun je schrijven als 0,333333 … en we begrijpen dat de drieën na de komma oneindig lang doorgaan.

Verder weten we van onze eerste lesboeken in de meetkunde dat een lijn uit oneindig veel punten bestaat, die elk oneindig klein zijn.

Even later leren we dat oneindigheid een symbool heeft, de liggende acht: ∞, die waarschijnlijk een slang voorstelt die zichzelf in de staart bijt.

En na school is oneindigheid in de wereld van wiskunde voor iedereen een bekend en geaccepteerd verschijnsel.

Wiskundig inzicht betekende verdrinking

In het oude Griekenland was de eerste kennismaking met oneindigheid een stuk gevaarlijker. Een van de grote vaders van de wiskunde, Pythagoras, die leefde van 570 tot 495 v.Chr., was een zeer veelzijdig man: hij was thuis in de filosofie, de wiskunde en de muziek.

En het liefst combineerde hij dat alles. Hij richtte de broederschap van de pythagoreeërs op, die bestond uit zijn studenten en volgelingen.

Vandaag de dag weten we niet veel over de pythagoreërs omdat het een heimelijke broederschap was en de leden zwijgplicht hadden, maar het is bekend dat ze op sommige gebieden hun tijd ver vooruit waren.

Ze waren bijvoorbeeld erg voor gendergelijkheid, dus vrouwen waren net zo welkom in de broederschap als mannen. Minder vrijzinnig waren ze echter wanneer wiskundige waarheden in twijfel werden getrokken.

Tenminste als we het verhaal over een van Pythagoras’ studenten, Hippasos, mogen geloven.

Tijdens een bootreis over de Middellandse Zee vertelde Hippasos zijn vrienden in de broederschap wat hij dacht van wat we nu de stelling van Pythagoras noemen: in een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de lengte van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de lengte van de schuine zijde.

Hippasos had gerekend met de simpele driehoek waarbij de lengte van de rechthoekszijden 1 was, en het bleek dat de lengte van de schuine zijde niet kon worden beschreven met een geheel getal – en zelfs niet met een breuk: de lengte is √2.

Hippasos hield zijn reisgenoten voor dat er geen gehele getallen of breuken waren die, vermenigvuldigd met zichzelf, 2 opleverden.

Dat had hij niet moeten doen. De andere pythagoreeërs waren zo van slag dat ze Hippasos prompt overboord gooiden en hem overlieten aan de verdrinkingsdood.

Natuurlijk was de aanpak van de pythagoreërs niet houdbaar, en vandaag de dag weten we dat Hippasos gelijk had. √2 is een zogeheten irrationaal getal.

Schrijf je het als decimaal, dan krijg je 15 decimalen 1,414213562373095 – maar de reeks gaat veel verder, zonder een patroon zoals dat zich voordoet met de breuk 1/3, waarbij je kunt voorspellen dat de reeks tot in het oneindige blijft doorgaan met drieën.

Een ander irrationaal getal is π. Dat kun je ook niet als breuk schrijven, al komt 22/7 in de buurt. Met 15 decimalen krijg je π = 3,141592653589793.

De irrationale getallen die Hippasos op het spoor was, zouden veel later belangrijk blijken te zijn voor ons diepere begrip van het oneindige, maar vóór het zover was braken generaties wiskundigen en filosofen zich er het hoofd over.

Enkele van de beste voorbeelden zijn de paradoxen die werden geformuleerd door Zeno van Elea, die leefde van 490 tot 425 v.Chr. Zo vertelde Zeno het verhaal van de legendarische held Achilles, die een wedstrijdje ging hardlopen met een schildpad.

Achilles kon tien keer zo snel lopen en gaf de schildpad daarom een royale voorsprong van zo’n 100 meter. Zeno’s punt was nu dat Achilles nooit de schildpad zou inhalen, want als onze held de plaats waar de schildpad begon bereikte, was het dier al 10 meter verder.

En als Achilles díé plek bereikte, zou de schildpad weer 1 meter verder zijn, enzovoort. De afstand tussen Achilles en de schildpad zou met andere woorden steeds kleiner worden, maar nooit nul zijn, laat staan dat Achilles in staat zou zijn om de schildpad voorbij te rennen.

© Science Photo Library

Oneindigheid wordt natuurkundige nonsens

Hoorn van Gabriël blaast de natuurkunde weg
De hoorn van Gabriël is een geometrische figuur die genoemd is naar de aartsengel Gabriël, die op de dag des oordeels op de hoorn zal blazen. De figuur laat zien dat wiskundige waarheden in de natuurkunde nonsens kunnen worden.

Formuleis simpel
Eerst wordt er in een coördinatenstelsel een curve (geel) getekend voor de formule y = 1/x. Dan draait het deel van de curve waar x groter is dan 1 om de x-as (met de groene pijl mee). Dit levert een hoorn op in 3D (rood).

Oppervlakte steekt uit het volume
De hoorn van Gabriël wordt steeds dunner naarmate x groter wordt. Laat je x naar oneindig lopen, dan gebeurt er iets raars met de oppervlakte en het volume:

de oppervlakte (of de binnenkant) van de hoorn blijft groeien en wordt oneindig groot. het volume van de hoorn blijft niet groeien, maar nadert het getal pi – en is dus eindig.

Natuurkundig gezien zijn dit vreemde eigenschappen. Het betekent namelijk dat als we de hoorn met verf zouden vullen, er niet genoeg in zou gaan om de binnen- noch de buitenkant van de hoorn te kunnen verven.

De filosoof en wetenschapper Aristoteles, die leefde van 384 tot 322 v.Chr., nam Zeno’s paradoxen ter hand. Hij was zich zeer bewust van het begrip oneindigheid en heeft het onder andere behandeld in zijn werk Fysica.

Aristoteles weerlegt de paradoxen van Zeno zonder er direct het tegenbewijs van te leveren; in plaats daarvan maakt hij onderscheid tussen ‘potentiële oneindigheid’ en ‘actuele oneindigheid’.

Dit onderscheid weerspiegelt de achtergrond van Aristoteles zelf. Als zoon van een arts had hij een concreet en wetenschappelijk beeld van de natuur en als leerling van de filosoof Plato had hij tegelijkertijd een abstracte kijk op de wereld.

In het kort zei Aristoteles dat oneindigheid bestaat, maar alleen als mogelijkheid. Het is bijvoorbeeld in principe mogelijk om een lijnstuk te verdelen in oneindig veel delen of om tot in het oneindige te blijven tellen, maar in praktisch opzicht niet.

De potentiële oneindigheid is er dus, maar de actuele niet. Zoals Aristoteles zei: ‘De natuur vlucht van het oneindige, want de oneindigheid is onvolkomen en de natuur streeft altijd een voleinding na.’

Er is een oude Griekse paradox over een hardloopwedstrijdje tussen de held Achilles en een schildpad.

© Shutterstock

Achilles geeft de schildpad een voorsprong van 100 meter, omdat hij 10 keer zo snel loopt. De vraag is: wanneer haalt Achilles de schildpad in?

© Shutterstock

Als Achilles 100 meter heeft afgelegd, is de schildpad 10 meter verder. Rent Achilles vervolgens 10 meter, dan is de schildpad 1 meter opgeschoten, enzovoort. Daarom zal de held de schildpad nooit inhalen. Volgens het verhaal althans. Maar klopt dat wel?

© Shutterstock

De argumentatie van de paradox klopt niet. Die gaat ervan uit dat Achilles oneindig veel handelingen moet verrichten in een eindig tijdsbestek, en dat is uiteraard onmogelijk.

In de werkelijke wereld zou Achilles de schildpad al inhalen nadat hij 111 1/9 meter heeft afgelegd.

Genieën van de renaissance gaven het op

Bijna 2000 jaar later werd Aristoteles’ onderscheid tussen wiskundige theorie en natuurkundige werkelijkheid onder de loep gelegd door een grote denker van de renaissance, Galileo Galilei.

In 1632 gaf hij een boek uit waarin hij twee wereldbeelden met elkaar vergeleek: het geocentrische, dat de aarde in het midden van het zonnestelsel plaatst, en het heliocentrische, dat de zon in het centrum zet.

Het boek is een lange dialoog tussen pleitbezorgers voor deze twee wereldbeelden, maar het is duidelijk dat Galileo zelf aanhanger was van het heliocentrische – waarmee hij de katholieke kerk tegen zich in het harnas joeg.

© Shutterstock

Geocentrisch wereldbeeld

De zon draait om de aarde, het middelpunt van het heelal.

© Shutterstock

Heliocentrisch wereldbeeld

De zon is het middelpunt van het zonnestelsel. De aarde en de andere planeten draaien eromheen.

Maar het boek gaat niet alleen over het zonnestelsel, de vertegenwoordigers van de wereldbeelden spreken ook over wiskundige oneindigheden.

Zo verkent Galileo het verband tussen gehele getallen en hun kwadraten: als we een geheel getal vermenigvuldigen met zichzelf, krijgen we het kwadraat.

Van het getal 1 is het kwadraat 1, van 2 is het kwadraat 4, van 3 is het 9, van 4 is het 16 enzovoort. We zien al snel dat er veel gehele getallen zijn die geen kwadraat zijn – zo zijn alleen al in de reeks van 1 tot en met 10 de getallen 2, 3, 5, 6, 7, 8 en 10 géén kwadraat.

Nu is de vraag: zijn er meer gehele getallen dan kwadratische? Intuïtief moet het antwoord ja zijn, en dan is de oneindigheid van gehele getallen dus groter dan de oneindigheid van kwadraten.

Maar Galileo gaat verder: elk geheel getal heeft een kwadratisch getal, dus er moeten even veel gehele getallen als kwadraten zijn. Met dit argument zijn de twee oneindigheden
plotseling even groot.

Dus wat is juist?

Galileo lost de paradox niet op, maar concludeert dat als het gaat om het oneindige, het geen zin heeft om termen als ‘groter dan’, ‘gelijk aan’ of ‘kleiner dan’ te gebruiken.

Waarschijnlijk heeft het Galileo behoorlijk dwars gezeten dat hij het moest opgeven, want hij beschouwde de wiskunde als universeel.

In zijn ogen was het niet zomaar een door de mens bedacht hulpmiddel om de wereld te beschrijven, maar inherent aan de natuur – of, zoals hij het zelf uitdrukte: ‘Het boek van de natuur is geschreven in de taal van de wiskunde.’

Galileo’s boek werd al in het jaar na publicatie door de kerk voor ketterij verklaard vanwege de nauwelijks verholen lofzang op het heliocentrische

wereldbeeld. Twee eeuwen lang, tot 1835, was het voor katholieken verboden om het te lezen. Maar voordat het boek van Galileo op de verboden lijst terechtkwam, is het vast en zeker verslonden door zijn leerling en volgeling, Evangelista Torricelli.

Net als zijn leraar liep Torricelli, natuur- en wiskundige, tegen de paradox van de oneindigheden op. Dat gebeurde toen hij in 1644 een geometrische figuur uitknobbelde, die later bekend werd als Torricelli’s trompet of de hoorn van Gabriël.

Het wonderlijke van de figuur is dat je met vrij simpele wiskunde kunt berekenen dat het oppervlak oneindig groot is – en met net zulke eenvoudige berekeningen dat het volume eindig is.

Dat is in strijd met onze intuïtie, want als we de hoorn met verf zouden vullen, zou er nooit genoeg zijn om de gehele binnenkant te bestrijken.

Ook dit voorbeeld laat dus zien dat de wiskunde botst met praktisch natuurkundig denken.

Een wiskundige zal beweren dat de verf best de binnenkant van de hele trompet kan bedekken, als die maar dun genoeg is – namelijk oneindig dun. En daarop zal de natuurkundige zeggen dat dergelijke verf gewoon niet bestaat.

© Getty Images

‘Het boek der natuur is geschreven in de taal van de wiskunde.’

Galileo Galilei (1564-1642) meende dat wiskunde universeel is, en daarom moeten oneindigheden ook in de natuur bestaan.

Sommige oneindigheden zijn even groot

De opvolgers van Galileo en Torricelli kregen het zwaar te verduren. Galileo liet een probleem na dat meer dan 200 jaar moest wachten tot het werd opgelost – door de jonge en getalenteerde Georg Cantor.

Begin jaren 1870, lang voordat hij psychische problemen kreeg, stortte Cantor zich op Galileo’s paradox van de oneindigheid van hele getallen en hun kwadraten.

Cantor was niet tevreden met Galileo’s conclusie dat het geen zin had om de grootte van oneindigheden te vergelijken en stroopte de mouwen op.

Cantor gebruikte zelf het voorbeeld dat elk getal in de reeks 10, 20, 30, 40, 50 enzovoort kan worden gekoppeld aan de getallen 1, 2, 3, 4, 5 enzovoort.

Dus we koppelen 10 aan 1, 20 aan 2 en zo verder. Zo krijgen we een reeks van paren zonder ‘gaten’ ertussen, of anders gezegd: de twee getallenreeksen, die beide oneindig zijn, bevatten evenveel elementen.

Precies hetzelfde geldt voor de kwadraten 1, 4, 9, 16, 25 enzovoort, of voor de even getallen (2, 4, 6, 8, 10 en zo verder) en de oneven getallen (1, 3, 5, 7, 9 enzovoort).

En al deze getallen – of verzamelingen – zijn even groot, want als we er paren van maken, slaan we geen enkel getal over. In principe zijn de verzamelingen ‘aftelbaar’, hoewel ze dat in de praktijk natuurlijk niet zijn, omdat het – letterlijk – een eeuwigheid zou duren om ze te tellen.

Precies hetzelfde geldt voor breuken en voor negatieve getallen, en dus voor alle getallen die we rationaal noemen.

Het verhaal van Hilberts Hotel toont aan dat de zogeheten aftelbare oneindigheden dezelfde grootte hebben. Hilberts Hotel heeft oneindig veel kamers, en hoe vaak er ook een oneindig aantal gasten arriveert, er is altijd plek.

©

De eerste oneindige buslading

krijgt de kamers met oneven nummers. Die kun je ook schrijven als 2n - 1, waarbij n het kamernummer is.

©

De tweede oneindige buslading

krijgt de kamers met 2 keer het oneven getal. Dit kun je ook schrijven als 2(2n - 1).

©

De derde oneindige buslading

krijgt de kamers met de nummers van 2 keer de vorige buslading. Die kun je schrijven als 4(2n - 1).

De vierde buslading krijgt de kamers 8(2n - 1), de vijfde krijgt de kamers 16(2n - 1) en zo verder.

©

Veel plus veel is net zo veel

Hilberts Hotel is een gevolg van de tak van wiskunde die de verzamelingenleer heet. Omdat de reeks van gehele getallen doorgaat, gelden beide beweringen:

De oneindigheid wordt groter

Cantors manier van denken was revolutionair; daarmee kun je oneindigheden bij elkaar optellen. Een eenvoudig voorbeeld betreft de oneindige reeks oneven getallen en de oneindige reeks even getallen.

Tellen we deze twee verzamelingen op, dan krijgen we de oneindige reeks natuurlijke getallen. Alle drie de hoeveelheden zijn te tellen, dus we kunnen ook zeggen dat ∞ + ∞ = ∞.

Hier is het belangrijk om erbij stil te staan dat we niet kunnen ‘doorrekenen’ met deze wiskundige uitspraak zoals we doen met vergelijkingen. Zo kunnen we geen ∞ aftrekken aan weerszijden van het gelijkheidsteken, want dan krijgen we ∞ = 0, wat duidelijk niet klopt.

Door te bewijzen dat aftelbare oneindigheden even groot zijn, bewees Cantor ook dat je, in tegenstelling tot wat Galileo beweerde, de grootte van oneindigheden best met elkaar kunt vergelijken. Tegelijkertijd had hij een heel nieuwe tak van de wiskunde gegrondvest, die we nu kennen als de verzamelingenleer.

En Cantor ging nog verder. Hij was zich ervan bewust dat zijn manier van kijken naar aftelbare oneindigheden alleen de rationale getallen betrof. Maar hoe zit het met de irrationale: de getallen als π of de beroemde √2 waar de oude Griek Hippasos voor stierf?

Irrationale getallen zijn niet te schrijven als breuken, alleen als decimalen, die dan tot in het oneindige doorgaan.

Cantor bewees dat als je een aantal oneindige decimalen hebt, het altijd mogelijk is om er meer op te voeren, die qua grootte binnen de reeks liggen. In elke interval van irrationale getallen zijn er daarom oneindig veel elementen.

©

‘De angst voor de oneindigheid is een soort bekrompenheid die het vermogen om het ware oneindige te zien, tenietdoet.’

Georg Cantor (1845-1918) bedacht de verzamelingenleer en een nieuwe manier om met oneindigheden te werken.

Het bewijs van Cantor betekent dat je, wanneer je de irrationale getallen meeneemt in de verzameling – die dan alle reële getallen bevat –, een andere oneindigheid krijgt dan met de rationale getallen. Die is ‘ontelbaar’ en daarom groter – of ‘machtiger’, aldus Cantor.

De ‘ontelbare oneindigheid’ lijkt in veel opzichten op de oneindigheid waaraan we denken als we een lijnstuk oneindig vaak verdelen, of wanneer we denken aan het stuk weg dat Achilles in de paradox van Zeno af moest leggen om bij de schildpad te komen.

Het stuk weg werd steeds kleiner, maar volgens Zeno nooit nul. Daar was Cantor het niet mee eens, en zijn argument luidde als volgt: Een oneindige decimale breuk die een geheel getal nadert, zoals nul, heeft dezelfde kenmerken als het getal zelf en is er daarom gelijk aan.

Neem nu de decimale breuk 0,1 en deel die steeds door 10. Dan krijg je eerst 0,01, dan 0,001, dan 0,0001 en ga zo maar door.

Als je dit een oneindig aantal keer zou doen, krijg je een getal dat je kunt schrijven als 0,00 ... 1 – waarbij de stipjes oneindig veel nullen vertegenwoordigen. Met andere woorden, je kunt nooit het getal 1 bereiken, en daarom is het getal in feite gewoon een nul.

De afstand tussen Achilles en de schildpad is op een gegeven moment dus ook nul, waardoor de held het dier kan inhalen.

Het wiskundesymbool voor oneindigheid, ∞, stelt waarschijnlijk een slang voor die zich in zijn staart bijt.

De baanbrekende gedachten en bewijzen van Cantor vielen niet bij al zijn collega’s in goede aarde. De grote Franse wiskundige Henri Poincaré, een verbeten tegenstander van Cantors werk, merkte wat neerbuigend op: ‘De komende generaties zullen de verzamelingenleer beschouwen als een ziekte waar ze van hersteld zijn.’

Zelfs Cantors voormalige docent en mentor van de universiteit van Berlijn, professor Leopold Kronecker, had geen goed woord over voor Cantors resultaten.

Integendeel: ‘Ik weet niet wat er overheerst in Cantors theorie – of het nu filosofie of theologie is –, maar ik weet zeker dat er geen greintje wiskunde in zit.’

Kronecker was het inhoudelijk dus volslagen oneens met zijn vroegere student, maar zijn sluwe woordkeuze verwijst naar een andere kant van Cantor: diens geloof.

Cantor was erg religieus en daarom was het belangrijk voor hem dat zijn wiskundige werk strookte met zijn godsbeeld.

Voor Georg Cantor waren oneindigheden niet zomaar potentiële mogelijkheden, zoals Aristoteles had bepleit – ze waren even ‘reëel’ als al het andere in de wiskunde en dus zoals alles in de wereld.

Net als Galileo beschouwde Cantor de wiskunde niet als iets abstracts en door de mens gemaakt, maar als iets fundamenteels in de natuur, geschapen door God.

En wat God heeft geschapen, kan hij realiseren. Cantor verwoordde het als volgt: ‘De angst voor de oneindigheid is een soort bekrompenheid die het vermogen om het ware oneindige te zien, tenietdoet, al heeft het in zijn hoogste vorm ons geschapen en in stand gehouden, en al komt het in zijn secundaire, oneindige vormen overal om ons heen voor en leeft het zelfs in onze gedachten.’

© Shutterstock

Bestaan er oneindige volkomen getallen?

De oudste wiskundige problemen hebben waarschijnlijk te maken met de zogeheten perfecte getallen. Een getal is perfect als de som van de delers (het getal zelf niet meegerekend) gelijk is aan het getal zelf.

28 is bijvoorbeeld perfect, omdat dit getal deelbaar is door 1, 2, 4, 7 en 14, die opgeteld 28 zijn. De eerste perfecte getallen zijn 6, 28, 496, 8128 en 33.550.336.

De pythagoreeërs en later Euclides waren sterk gefascineerd door de perfecte getallen en hielden zich bezig met allerlei problemen daaromtrent. Wat het oudste probleem is, weten we niet, maar het zou zomaar de vraag kunnen zijn of er oneindig veel perfecte getallen bestaan.

Deze vraag is nog altijd niet beantwoord. In december 2003 werd het 40e perfecte getal ontdekt, dat meer dan 12 miljoen cijfers bevat.

Het is echter niet uit te sluiten dat er nog meer perfecte getallen zijn. Ook is niet duidelijk of er ook oneven perfecte getallen bestaan.

Voordat je gaat zoeken, moet je weten dat wiskundigen een aantal voorwaarden hebben opgesteld voor eventuele perfecte getallen: ze bestaan uit meer dan 300 cijfers en hebben minstens 29 priemfactoren.

Wiskundigen zijn verdeeld in twee kampen

De strijd tussen Kronecker en Cantor ging 20 jaar door, tot aan Kroneckers dood in 1891. Ze vertegenwoordigden elk een fundamentele visie, wat de wiskundigen van die tijd in twee kampen verdeelde.

Voor Cantor waren getallen en wiskunde realiteit, en dat gold voor alle getallen, ook de irrationale. Voor Kronecker waren de getallen alleen werkelijk voor zover je hun fysieke bestaan kon zien, wat betekende dat hij goed overweg kon met natuurlijke getallen, maar erg slecht met de irrationale.

Het gebrek aan erkenning van zijn oude leraar ging Cantor aan het hart, en het kan hebben bijgedragen aan de depressies die hem later in het leven plaagden.

Hij zette zijn werk in de wiskunde voort, maar tijdens het laatste gedeelte van zijn carrière aan de universiteit van Halle stapte hij zoetjes aan over naar zijn twee andere interessegebieden, filosofie en literatuur.

Gaandeweg werden steeds meer mensen zich bewust van de kwaliteit van Cantors wiskundige werk en de uitvinding van de verzamelingenleer.

Een groot bewonderaar was zijn landgenoot David Hilbert, die de resultaten van Cantor zelfs beschouwde als ‘het beste product van wiskundig genie en een van de grootste prestaties van puur intellectuele menselijke activiteit’.

Later maakte Hilbert de aftelbare oneindigheden van Cantor aanschouwelijk met ‘Hilberts Hotel’. Stel je een hotel voor met oneindig veel kamers, die de nummers 1, 2, 3, 4, 5 enzovoort hebben.

Al deze kamers zijn eenpersoonskamers en ze zijn allemaal bezet. Laat in de avond komt er echter een nieuwe gast, en in plaats van hem weg te sturen, kiest de receptionist ervoor om de uitdaging aan te gaan.

Hij vraagt de gast in kamer 1 om naar kamer 2 te gaan, de gast in kamer 2 om naar kamer 3 te gaan, de gast in kamer 3 om naar kamer 4 te gaan en zo verder. Zo creëert hij een lege kamer, namelijk kamer 1, waarin de nieuwe gast zijn intrek kan nemen. Puur wiskundig laat het voorbeeld zien dat ∞ + 1 = ∞.

Maar slapen zit er nog niet in, want kort daarna komt er een bus met oneindig veel reizigers aan. Ook voor hen weet de vindingrijke receptionist plaats te maken.

Hij vraagt al zijn gasten hun kamer te verlaten en de dichtstbijzijnde lege kamer met een even nummer op te zoeken.

De gast van kamer 1 gaat dus naar kamer 2, de gast van kamer 2 gaat naar kamer 4, de gast van kamer 3 gaat naar kamer 6 enzovoort. Vervolgens kan het hele gezelschap van de busreis de kamers met de oneven nummers bezetten – probleem opgelost.

De gasten zijn echter nog niet naar bed of er komen niet minder dan oneindig veel bussen aan, die allemaal oneindig veel passagiers bevatten. Nu moet de receptionist even goed nadenken voor hij de oplossing heeft.

Eerst vraagt hij al zijn gasten om hun kamer te verlaten en naar de oneven nummers 1, 3, 5, 7, 9 enzovoort te gaan. Ze verblijven nu in de kamers die we wiskundig schrijven als 2n - 1, waarbij n het kamernummer is.

Het volgende reisgezelschap krijgt de kamers die kunnen worden geschreven als 2(2n - 1). De derde buslading krijgt de kamers met nummers die het dubbele daarvan zijn, dat wil zeggen 4(2n - 1).

Zo blijft de receptionist de busladingen met oneindig veel gasten verdelen – tot in het oneindige. Er is plaats genoeg voor iedereen.

Met zijn voorbeeld maakte Hilbert een belangrijk punt in Cantors verzamelingenleer aanschouwelijk, wat hij veelvuldig in zijn lezingen uiteenzette: Hilberts Hotel toont niet alleen dat ∞ + ∞ = ∞ maar ook dat ∞ x ∞ = ∞.

Oneindigheden leiden tot wiskundeparadijs

Voor David Hilbert was de verzamelingenleer niets minder dan een geniale wiskundige zet: ‘Niemand kan ons uit het paradijs zetten dat Cantor heeft gecreëerd,’ zei hij.

Met ‘ons’ bedoelde Hilbert waarschijnlijk ‘ons, de wiskundigen’, want hoewel Cantors verzamelingenleer een volledig nieuw wiskundig begrip van oneindigheden opleverde, leerde hij ons niet of oneindigheden ook in de werkelijkheid bestaan.

Helaas zijn er in de werkelijke wereld geen hotels met oneindig veel eenpersoonskamers noch bussen met oneindig veel zitplaatsen.

Toch kunnen wiskundige oneindigheden de wereld van de natuur soms verrassend nauwkeurig beschrijven – en bovendien op een visueel overtuigende manier.

In de tweede helft van de 20e eeuw kwam er een nieuw wiskundig concept op, dat tot ver buiten de wiskunde populair werd: fractals, prachtige geometrische figuren gebaseerd op eenvoudige wiskundige vergelijkingen.

Fractals hebben de eigenschap dat ze zichzelf tot in het oneindige lijken te herhalen: als je inzoomt op een deeltje van de figuur, komt het algehele patroon telkens weer tevoorschijn.

Een bekend voorbeeld werd al in 1904 beschreven door de Zweedse wiskundige Helge von Koch.

Bij de zogenoemde sneeuwvlok van Von Koch worden de zijden van een gelijkzijdige driehoek steeds op dezelfde manier opgedeeld, met als resultaat een figuur met een omtrek als van een sneeuwvlok.

Oneindig klein vind je niet in de natuur

Fractals bootsen de kleinste details na

Een simpele fractal krijg je als je de zijden van een gelijkzijdige driehoek als volgt verdeelt:

© Shutterstock

Vervang het middelste derde deel van de zijde door een sterpunt die bestaat uit twee lijnen met dezelfde lengte als het verwijderde deel.

© Shutterstock

Herhaal dit met alle zijden van de driehoek. Het resultaat is een ster met zes punten.

© Shutterstock

Doe hetzelfde met de zijden van de ster en blijf het proces herhalen. Op die manier krijg je een figuur die steeds meer op een sneeuwvlok lijkt.

© Shutterstock

De natuur stelt grenzen

Fractals kunnen tot in het oneindige inzoomen op steeds kleinere details, maar de natuur hanteert een ondergrens:

het kleinste in de natuur kan niet kleiner zijn dan de zogeheten plancklengte van 1,6 x 10-35 meter.

De Franse wiskundige Benoît Mandelbrot borduurde in 1967 voort op deze manier van denken in een artikel in het wetenschappelijke tijdschrift Science, waarin hij vroeg: ‘Hoe lang is de kustlijn van Groot-Brittannië?’

Mandelbrots punt was dat het antwoord afhangt van de schaal van de kaart. Hoe kleiner de schaal, hoe meer details je waarneemt en hoe langer de kustlijn wordt.

In 1982 publiceerde Mandelbrot The Fractal Geometry of Nature, en mede dankzij de prachtige patronen in dit boek en hun opvallende gelijkenis met die in de natuur werd het fractal, eigenlijk een vrij nerdy wiskundig onderwerp, plotseling een verschijnsel waar iedereen van had gehoord.

Maar al doen de oneindigheden van fractals denken aan sneeuwvlokken, kustlijnen of de structuren van varens, bloemkool, slakkenhuizen en noem maar op, fractals zijn er geen directe beschrijving van. In het fractaluniversum kunnen we alsmaar blijven inzoomen op structuren, maar in de natuur gaat die vlieger niet op.

Op een gegeven moment bereiken we de atomaire en subatomaire schaal, ofwel de kleinste bouwstenen van de natuurkunde en de kleinste eenheden die kunnen bestaan.

In de quantummechanica is de ondergrens van hoe klein iets kan zijn de zogeheten plancklengte van 1,6 x 10-35 meter. De werkelijkheid moet het hier dus laten afweten, terwijl de wiskunde kan doorgaan – letterlijk tot in het oneindige.

Het heelal kan oneindigheden bevatten

De enige wetenschap waarin we van oudsher gewoon over natuurkundige oneindigheden spreken, is de kosmologie. In het heelal om ons heen komen immers zulke extreme verschijnselen voor dat we ze tot nu toe alleen maar met behulp van oneindigheden hebben kunnen beschrijven.

Een daarvan is het zwarte gat. In het midden van een zwart gat is de zwaartekracht oneindig groot omdat er zo veel materie op een oneindig klein gebiedje van het heelal is samengeperst.

Dit verschijnsel, singulariteit geheten, volgt uit de algemene relativiteitstheorie van Albert Einstein uit 1915. Einstein twijfelde er echter aan of singulariteiten bestaan.

‘Zwarte gaten zijn de plekken waar God iets heeft gedeeld door nul,’ zou hij hebben gezegd. Maar dat klopt niet, want het begrip ‘zwart gat’ werd pas geïntroduceerd in de jaren 1960, en Einstein stierf in 1955.

Maar de formulering geeft wel de aversie weer die Einstein en andere natuurkundigen voelden jegens de notie van natuurkundige oneindigheden.

Een ander vraagstuk rond de natuurkundige oneindigheid betreft de grootte van het heelal: is er een grens of is het oneindig groot?

Van 1950 tot 1970 waren veel natuurkundigen en astronomen het erover eens dat het heelal oneindig groot is en een oneindige geschiedenis heeft. De ‘steady state’-theorie van de Britse astronoom Fred Hoyle moest echter wijken voor de oerknaltheorie.

Tegenwoordig denken de meeste mensen dat het heelal 13,8 miljard jaar geleden uit een singulariteit ontstond en is uitgebreid tot de omvang die het nu heeft.

Als de oerknaltheorie klopt, heeft het heelal dus een eindige omvang – tenzij het met oneindige snelheid is gegroeid.

Onze observaties worden beperkt door het feit dat het licht een eindige snelheid heeft en daarom is er een limiet aan de afstand die we in het heelal kunnen kijken.

De astronomen spreken van het zichtbare heelal en hebben berekend dat het zich 46,6 miljard lichtjaar uitstrekt in alle richtingen vanaf de aarde.

Wat er daar buiten ook mag zijn, we zullen het nooit weten, want door de uitdijing van het heelal zal het licht van verdere streken ons nooit bereiken.

Het probleem met de omvang van het heelal wordt er niet makkelijker op doordat we de vorm ervan niet kennen. Weer heeft Einstein ons veel geleerd, maar ook in de war gebracht.

Over grote afstanden is onze driedimensionale perceptie van de ruimte niet toereikend.

© claus lunau

Oneindig groot is nog onmogelijk

Grens van het heelal ligt buiten onze horizon

Het licht schiet door de ruimte met een eindige snelheid, wat beperkingen heeft voor hoever we in het heelal kunnen kijken.

Op astronomische schaal moet er een vierde dimensie bij: tijd. Het heelal heeft dus een vierdimensionale vorm, die moeilijk te visualiseren is.

Misschien geeft die vorm het heelal een oneindige grootte, of misschien betekent het dat het heelal, zoals Einstein zelf voorstelde, eindig maar zonder grenzen is.

Het klinkt tegenstrijdig, maar denk maar aan een bal of een donut. Die hebben een eindig oppervlak, maar als je er een lijn op tekent, kun je tot in het oneindige doorgaan zonder ooit een limiet te bereiken.

Of dat met de ruimte ook zo is, weten we nog niet. Wellicht verlaat de wiskunde hier de natuurkunde.

En misschien bestaan oneindigheden gewoon niet, of kunnen we ze nog niet doorgronden. Zoals Einstein zelf zei: ‘Twee dingen zijn oneindig, het heelal en de domheid van de mens – en van het heelal weet ik het zo net nog niet.’